zuletzt bearbeitet am 23.10.2006

Berechnung einer gemischten Schaltung 2

Gegeben ist die abgebildete Schaltung aus 1 Spannungsquelle und 5 Widerständen
mit den Werten aller Widerstände und dem Spannungswert der Spannungsquelle.

Zu berechnen sind alle Einzelspannungen an den Widerständen und alle Einzelströme, die irgendwie in dieser Schaltung messbar sind.

Hier sollen also berechnet werden:
die Einzelspannungen U₁, U₂, U₃, U₄, U₅ und
die Einzelströme I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ sowie der Gesamtstrom I₀ ,

Diese Schaltung heißt Brückenschaltung und wird häufig genutzt, um einen unbekannten Widerstand zu bestimmen.

Als Werkzeuge stehen zur Verfügung:

- das Ohm�sche Gesetz (U = R * I),

- die Knotenregel (Die Summe aller in einen Knoten hineinfließenden Ströme
ist gleich der Summe aller aus dem Knoten abfließenden Ströme.
bzw.: Die Summe aller Ströme in einem Knoten = 0A. ), sowie

- die Maschenregel ( Die Summe aller Spannungen beim Umlauf um eine Masche ist 0V.)

Es soll gezeigt werden, wie man mit diesen Hilfsmitteln eine solche Schaltung analysieren kann.

Nun werden die Ausgangsgleichungen für die Rechnung formuliert:
Aus dem Ohm�schen Gesetzt ergeben sich: 1. U1 = R1 * I1 2. U2 = R2 * I2 3. U3 = R3 * I3 4. U4 = R4 * I4 5. U5 = R5 * I5	Aus der Knotenregel ergeben sich : A: I0=I1+I4 B: I1=I3+I2 C: I5=I4+I3 D: I0=I2+I5 ---------------------------------------------------- Die Gleichung D lässt sich aus den Gleichungen A, B und C kombinieren. Daher bringt die Gleichung D keine neuen Informationen mehr, wenn bereits die anderen drei Gleichungen bekannt sind. übrigens lässt sich jede Gleichung aus den anderen 3 Gleichungen kombinieren. Man sagt, diese 4 Gleichungen sind linear abhängig. Zur Lösung der Aufgabe nützen daher nur 3 der 4 Knotengleichungen etwas.	Aus der Maschenregel ergeben sich : E: (Masche aus R1-R3-R4): U1+U3=U4 F: (Masche aus R3-R2-R5): U5+U3=U2 G: (Masche aus U0-R1-R2): U1+U2=U0 ------------------------------------------------------ Wenn man weitere Maschen betrachtet und deren Gleichungen aufstellt, stellt man fest, dass diese zusätzlichen Gleichungen keine neue Informationen mehr bringen, also nichts zu Lösung der Aufgabe beitragen (s. Knotengleichungen).
Die tatsächlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen: Ist das Vorzeichen positiv, fließt der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung Ist das Vorzeichen negativ, fließt der Strom entgegen der angenommenen Richtung. Das sind insgesamt 11 Gleichungen mit den 11 Unbekannten U1, U2, U3, U4, U5, I0, I1, I2, I3, I4, I5 Ziel ist es zunächst, diese 11 Gleichungen mit 11 Unbekannten Schritt für Schritt zu reduzieren, bis noch 1 Gleichung mit 1 Unbekannten übrigbleibt. Sollte dieses Gleichungssystem allerdings nicht lösbar sein, weil noch passende Gleichungen fehlen, so kann man weitere Gleichungen aus den nicht ausgenutzten Maschen herleiten. Außerdem kann man sich an beliebiger Stelle im Plan einen künstlichen Knoten erzeugen, auch wenn er nur eine Zuleitung und eine Ableitung besitzt.

Hier noch einmal die Formeln in Reinform und durchnummeriert: Dies ist das Gleichungssystem mit 11 Gleichungen (Gl.) und 10 Unbekannten (Unb.) I1, I2, I3, I4, I5, Ib, U1, U2, U3, U4
In den 3 Maschengleichungen wird nun jeweils für Ux = Rx*Ix eingesetzt (Ohm�sches Gesetz). U0 wird nicht ersetzt, da es ja bereits eine bekannte Größe ist. Die oberen 3 Gleichungen wurden aus dem Ausgangssystem unverändert übernommen. Damit liegt nun ein Gleichungssystem vor aus 6 Gleichungen mit den 6 Unbekannten:I0, ...,I5. Alle anderen Größen in diesem System sind bereits gegeben.
Ersetzt man nun in den unteren 3 Gl alle I1 und alle I5 gemäß den Gleichungen aus der Knotenregel: I1=(I3+I2) bzw. I5=(I4+I3), so erhält man: Dies ist ein Gleichungssystem mit nur noch 3 Gleichungen aber auch nur noch 3 Unbekannten, nämlich I2, I3 und I4.
Die untere dieser 3 Gleichungen wird nun zunächst nach I3 aufgelöst Die beiden oberen Gl. werden so umgeformt, dass I3 jeweils nur einmal vorkommt: So erhält man die Gleichungen H, I und K.
Der Bruch aus Gl. H wird nun an Stelle aller I3 in den beiden Gl. I und K eingesetzt: Damit hat man 2 Gl. L und M mit 2 Unbek.: I2 und I4
Das Verfahren geht so weiter, dass man z.B.die Gl. L z.B. nach I4 auflöst und Gl. N erhält.
Das Ergebnis aus Gl. N wird in Gl. M für I4 eingesetzt. Man erhält eine Gl. mit einer Unbekannten I2, die noch nach I2 aufgelöst werden muss.
Um die Brüche loszuwerden, wird die gesamte Gleichung mit (R1 * R4) multipliziert:

Nun werden alle Summanden mit dem Faktor I2 auf die linke Seite der Gleichung "geschaufelt". Außerdem wird auf der linken Seite U0 und auf der rechten Seite I2 audgeklammert.

Endlich muss man die Gleichung nur noch durch die gesamte Klammer auf der rechten Seite dividieren und erhält die Lösungsformel für I2:

Spätestens an dieser Stelle sollten Sie sich Gedanken machen, ob denn die Gleichung wenigstens bezüglich der Einheiten stimmen kann! Ergibt diese bereits eine falsche Ergebniseinheit, liegt ein massiver Fehler vor. Umgekehrt gilt nicht der Schluss, dass alles richtig ist, wenn die Einheit stimmt, es könnte sich ja irgendwo z.B. ein Vorzeichenfehler eingeschlichen haben oder man hat einen Index vertauscht. Im Zähler hat man eine Summe aus Volt* Ohm^2, im Nenner eine Summe aus Ohm^3. Nach Kürzen bleibt also als Einheit V/Ohm = A. Dies ist die richtige Einheit für den Strom I2.
Die Lösungsgleichung enthält nur noch I2 als Unbekannte, alle anderen Größen der Gl. sind bekannt. Die bekannten Werte werden eingesetzt und I2 kann berechnet werden.

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus rückwärts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, und diese dann berechnet. Anschließend weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen. Spätestens wenn man an den Ausgangsgleichungen angekommen ist (und nichts übersehen hat), sind alle Unbekannten berechnet. Also los
Aus Gl. N lässt sich nun direkt I4 berechnen Aus Gl. H lässt sich dann direkt I3 berechnen Alle übrigen gesuchten Größen ergeben sich ähnlich. Zu Ihrer Kontrolle werden alle Ergebnisse in der Tabelle zusammengefasst.
Da alle Ergebnisse positiv sind, werden die Annahmen über die Stromrichtungen bestätigt.

Um sich die Arbeit in Zukunft zu erleichtern, liegt nun eine Excel-Tabelle vor, die diese Berechnungen nach Eingabe der Eingangswerte durchführt.

Quickstart

Seite:

Grundlagen der Elektrotechnik

Gleichstromtechnik

Brückenschaltungen

Berechnung einer gemischten Schaltung 2

Als Werkzeuge stehen zur Verfügung:

Nun werden die Ausgangsgleichungen für die Rechnung formuliert:

Die tatsächlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen:
Ist das Vorzeichen positiv, fließt der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung
Ist das Vorzeichen negativ, fließt der Strom entgegen der angenommenen Richtung.

Spätestens an dieser Stelle sollten Sie sich Gedanken machen, ob denn die Gleichung wenigstens bezüglich der Einheiten stimmen kann!

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus rückwärts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, und diese dann berechnet.
Anschließend weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen.

Also los

14

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Gleichstromtechnik

Brückenschaltungen

Berechnung einer gemischten Schaltung 2

Als Werkzeuge stehen zur Verfügung:

Nun werden die Ausgangsgleichungen für die Rechnung formuliert:

Die tatsächlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen: Ist das Vorzeichen positiv, fließt der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung Ist das Vorzeichen negativ, fließt der Strom entgegen der angenommenen Richtung.

Spätestens an dieser Stelle sollten Sie sich Gedanken machen, ob denn die Gleichung wenigstens bezüglich der Einheiten stimmen kann!

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus rückwärts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, und diese dann berechnet. Anschließend weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen.

Also los

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Die tatsächlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen:
Ist das Vorzeichen positiv, fließt der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung
Ist das Vorzeichen negativ, fließt der Strom entgegen der angenommenen Richtung.

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus rückwärts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, und diese dann berechnet.
Anschließend weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen.