Musterlösungen

2.08 Trigonometrische Funktionen

1. Aufgabe

2. Aufgabe

3. Aufgabe

4. Aufgabe

5. Aufgabe

Gegeben ist ein 3,8L, 4-Zylinder-4-Takt-Reihenmotor.
Der Hub beträgt 120mm, die Pleuelstange ist 150mm lang und die Kompressionshöhe ist 25mm.
Die Drehzahl beträgt gerade 3000/min.

Aufgaben:
1. Geben Sie eine übliche Zündfolge an.
2. Wie lauten für diese Zündfolge die Funktionen f1(t) ...f4(t) für die Zylinder 1...8 , die den zeitlichen Verlauf des Abstands des jeweiligen Kolbenbodens von der Kurbelwellenachse beschreiben?
Nehmen Sie dazu an, die Kolben bewegen sich sinusförmig auf und ab.
3. Zeichnen Sie die Funktionsgraphen. 
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Lösung:
1.
Eine übliche Zündfolge des 4-Zyl-4-Takt-Reihenmotors ist 1342.

Daraus folgt:
1. der 1. und der 4. Kolben bewegen sich synchron zueinander
2. der 2. und der 3. Kolben bewegen sich synchron zueinander
3. der 1. Kolben macht eine gegensinnige Bewegung wie der 2.
   bzw. Kolben 1/4 bewegen sich um 180° (pi) phasenversetzt 
   wie Kolben 2/3
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Es sei:
y1(t): Abstand Kolbenboden 1.Zyl. - Kurbelwellenachse als Funktion der Zeit
       Dieser Abstand ändert sich ständig und periodisch mit der KW-Drehung.

Die allgemeine Form einer Sinusfunktion lautet:
y1(t) = A * sin(2*pi*f*t +C) + D
mit den zu bestimmden Größen:
A: Amplitude
f: Frequenz
C: Phasenverschiebung
D: Offset (Verschiebung der Ruhelage in y-Richtung).

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mit den gegebenen Abmessungen des Motors ergibt sich:
Kolben 1 in OT:  => ymax=  60 + 150 + 25  = 235 (mm)
Kolben 1 in UT:  => ymin= -60 + 150 + 25  = 115 (mm)

Der Kolben bewegt sich um  den Offset    D=(235+115)/2 = 175.
Der Kolben bewegt sich mit der Amplitude A=(235-115)/2 = 60  nach oben/ unten.

=>  y1(t) = 60*sin(2*pi*f*t +C)  + 175

Die Zeitachse soll sinnvollerweise die Einheit s haben
bei 3000/min ist f = 50Hz

=> y1(t) = 60*sin(2pi*50*t + C) + 175

Der Wert C ist für einen Zylinder frei wählbar, weil es in dieser Aufgabe keinen 
speziellen Startzeitpunkt und keine spezielle Startposition der Kurbelwelle gibt.
Hat man sich jedoch für einen Zylinder festgelegt, so ist C für jeden der übrigen 
3 Kolben dieses Motors nicht mehr frei wählbar, sondern hängt jeweils von der 
Zündfolge ab.
Mit der oben angegebenen Zündfolge ergibt sich:

y1(t) = y4(t) = 60*sin(100pi * t)       + 175
y2(t) = y3(t) = 60*sin(100pi * t + pi)  + 175
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6. Aufgabe