Innenwiderstand von Spannungsquellen

Experimente

Woran liegt es, wenn in Ihrer Küche die Lampen kurz dunkler werden, während Ihr Nachbar seinen 20kW Durchlauferhitzer einschaltet?
Wie ist es zu erklären, dass beim Starten die Instrumentenbeleuchtung deutlich dunkler wird?

Diese Beobachtungen lassen sich natürlich darauf zurückführen, dass unter den beschriebenen Bedingungen weniger Strom durch die Lampen fliesst, und der Strom wiederum wird reduziert, weil entsprechend die Spannung an den Lampen gesunken sein muss.

Am Kfz lässt sich die Bordnetzspannung sehr leicht mit einem einfachen Spannungsmessgerät verfolgen, das z. B. an die Akkuklemmen angeschlossen wird. Bei ausgeschalteter Zündung sind ausser der Uhr und evtl. einigen Code- oder Fehlerspeichern und der Diebstahlwarnanlage keine weiteren Verbraucher aktiv und die Batterie wird nur sehr schwach belastet. Nehmen wir mal an, dass in diesem Fall das Spannungsmessgerät 12,8V anzeigt.

Wird nun das Abblendlicht eingeschaltet, sinkt die angezeigte Spannung an den Batteriepolklemmen auf 12,7V. Bei zusätzlichem Betrieb des Innenraumgebläses auf höchster Schaltstufe, geht die Spannung bis auf 12,5V zurück. Es gibt offenbar einen Zusammenhang zwischen der Belastung des Akkus und seiner Klemmenspannung in der Art, dass die KLemmenspannung immerkleiner wird, jestärker der Akku belastet ist. Um diese Vermutung zu erhärten, wird in einem weiteren Versuch der Starter betätigt. Dabei schliesslich sinkt die Klemmenspannung am Akku im ersten Moment (Ritzel ist gerade eingespurt) sogar bis auf 6,3V, beim Durchdrehen des Starters auf etwa 9,6V. Wenn der Starter dreht, benötigt er tatsächlich nicht so viel Strom wie unmittelbar nach dem Einspuren!)

Ereignis	Strom /A	Klemmenspannung /V
Abblendlicht	12	12,7
Abblendlicht und Gebläse	34	12,5
Drehender Starter	350	9,6
Blockierter Starter	700	6,3

In der Tabelle werden die Daten der Versuchsreihe zusammengefasst. Neben der Spannung wurde auch immer der Strom mitgemessen.

Experimente

Kennlinie

Formeln

Die Daten aus der Versuchsreihe lassen sich sehr anschaulich in einem Diagramm darstellen.

Die roten Punkte stellen die Messwerte dar, die offenbar ziemlich gut auf einer fallenden Geraden liegen.

Den hier grafisch dargestellten Zusammenhang zwischen Belastung (I) einer Spannungsquelle und deren Klemmenspannung (U_Kl) nennt man die Kennlinie der Spannungquelle.

Es muss auch noch klar gesagt werden, dass unterschiedliche Spannungsquellen auch unterschiedliche Kennlinien haben.

Im nächsten Abschnitt wird eine Formel entwickelt, die den Zusammenhang mathematisch beschreibt.

Kennlinie

Formeln

Kennlinienvergleich

Die oben dargestellte Eigenschaft von Spannungsquellen kann man leicht verstehen, wenn man jeder Spannnungsquelle einen für sie charakteristischen Widerstand zuschreibt.

Diesen Widerstand nennt man den Innenwiderstand R_i der Spannungsquelle und stellt ihn zusammen mit dem Batteriesymbol dar. In dem kleinen Schaltplan deutet die rote Strich-Punkt-Umrandung die komplette Batterie inclusive ihrem Innenwiderstand dan .

Der äußerere Verbraucher R_v belastet die Spannungsquelle, so dass der Strom I fließt.

Alle Leitungen verstehen sich in dieser Schaltung als ideale Leiter, also ohne Leiterwiderstand.

Sollten Sie mit dieser Vorstellung Probleme haben, so stellen Sie sich die Widerstände der beiden Leitungen und den Verbraucherwiderstand nach den Regeln der Reihenschaltung im Verbraucherwiderstand zusammengefasst vor.

Dann kann man aus der Schaltung folgende Gleichungen ablesen:

<strong>Belastete Spannungsquelle</strong> mit Innenwiderstand

U_Kl = U_v	(Maschenregel)
U₀ = U_i + U_Kl	(Maschenregel) oder umgestellt
U₀ - U_i = U_Kl
U_i = R_i * I	(Ohmsches Gesetz) und da im gesamten Stromkreis überall derselbe Strom fließt.
U₀ - R_i * I = U_Kl	Gleichung 4 in Gleichung 3 eingesetzt oder
U_Kl = U₀ - R_i * I	Gleichung 5 umgestellt
U_v = R_v * I	(Ohmsches Gesetz) gilt ausserdem.

Es gelten folgende Bezeichnungen:

U_Kl : Klemmenspannung an den Akkupolklemmen
U₀ : Ruhespannung oder Urspannung oder Quellspannung
U_i: Spannungsverust am Innenwiderstand
R_i : Innenwiderstand des Akkus
I : dem Akku entnommener Strom
U_v : Spannung am Verbraucher
R_v : Verbraucherwiderstand

Die Leitungen im Stromkreis werden als widerstandslos (ideale Leiter) angenommen. Sollte Ihnen diese Annahme weh tun, so fassen Sie die Leitungswiderstände mit dem Verbraucherwiderstand nach den Regeln der Reihenschaltung zu einem neuen R_v zusammen.

Diese Gleichungen sind alle recht einfach. Hier kommt es besonders auf die Gleichung Nr. 6 an:

U_Kl = U₀ - R_i * I

An dieser Gleichung erkennt man, dass die Klemmenspannung immer gleich oder kleiner ist als die Ruhespannung.
Die Klemmenspannung ist genau dann gleich der Ruhespannung, wenn der Akku nicht belastet wird, wenn also I = 0A gilt.
Ausserdem ist die Klemmenspannung umso kleiner, je stärker der Akku belastet wird.

Formeln

Kennlinienvergleich

Seitenende

Kennlinie 3 gehört zu einem geladenen 12V 44Ah Akku. Die Ruhespannung beträgt etwa 13,5V. Der Kurzschlussstrom ist im Diagramm nicht mehr dargestellt, er beträgt aber schätzungsweise 1200A! Ein solcher Strom kommt in der Kfz-Praxis bei diesem Akku nicht vor, es sei denn, man schliesst unachtsamerweise oder absichtlich mit einem Starthilfekabel beide Batteriepole kurz (Achtung Explosionsgefahr: Durch extrem starke Gasung werden die Batteriestopfen herauskatapultiert und Säure spritzt aus!)
Die stärkste Belastung des Akkus geschieht durch den Starter in dem Moment, wo das Ritzel eingespurt ist, aber sich noch nicht dreht. Dann ist der Strom etwa gleich dem halben Kurzschlussstrom.

Kennlinie 2 stammt von einem 12V 15Ah Akku, der ebenfalls gut geladen ist. Da dieser Akku jedoch wesentlich weniger Aktives Material besitzt, und daher weniger elektrochemische Prozesse gleichzeitig ablaufen können, ist sein Innenwiderstand entsprechend grösser.

Kennlinie 2 könnte auch von einem 12V 44Ah Akku stammen, der zwar voll geladen ist (U₀ = 13,5V), der aber bereits 8 Jahre alt ist, und entsprechend an Kapazität verloren hat.

Kennlinie 2 könnte auch von einem neuen 12V 44Ah Akku stammen, der zwar voll geladen ist (U₀ = 13,5V), wo aber der obere Teil der Platten trocken steht und daher nichts zur elektrochemischen Umsetzung beitragen kann.

Kennlinie 2 könnte auch von einem neuen 12V 44Ah Akku stammen, der zwar voll geladen ist (U₀ = 13,5V), aber dessen Temperatur wesentlich kälter ist als die von Akku 3, denn bei Kälte steigt der Innenwiderstand stark an, da die elektrochemischen Prozesse im Akku träger ablaufen (Fieber).

Kennlinie 1 würde von einem geladenen neuen 6V 44Ah Akku (falls es den gibt) stammen. Seine Kennlinie ist parallel zu der von Akku 3. Beide Akkus haben damit denselben Innenwiderstand und dieselbe Kapazität.

Der Innenwiderstand eines Akkus und damit seine Kennlininie ändern sich mit:

der Kapazität: Je größer die Kapazität, desto kleiner der Innenwiderstand
dem Ladezustand : Je besser geladen, desto kleiner der Innenwiderstand
dem Säurepegel: Je mehr die Platten aus der Flüssigkeit ragen, desto kleiner die Kapazität
dem Alter des Akkus: Je älter, desto weniger aktives Material und desto größer der Innenwiderstand
der Akkutemperatur: Je kälter, desto größer der Innenwiderstand

Ausserdem gilt :

Je größer der Innenwiderstand, desto steiler die Kennlinie.

Natürlich haben außer den Batterien auch andere Spannungs- u. Stromquellen die Eigenschaft, dass ihre Klemmenspannung bei Belastung sinkt. Mögen manche guten Netzteile auch zunächst so geregelt werden können, dass sie ihre Spannung bis zu einer bestimmten Belastung konstant halten können, bei weiter steigendem Strom jedoch versagt auch die beste Regeltechnik.

Im Kfz ist der Generator der Hauptstromlieferant während der Fahrt. Spannungsverluste treten hier an den Gleichrichterdioden auf (etwa 2 * 0,7V fast belastungsunabhängig) aber auch in der Ständerwicklung mit ihrem Ohm�schen Widerstand. Der Spannungsverlust in der Ständerwicklung ist nach dem Ohm�schen Gesetz natürlich belastungsabhängig. Hierbei berechnet man den Innenwiderstand wie einen Leiterwiderstand.

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